前言

开始跟《机器学习基石》这门课,相对于Stanford那门课,这门明显难度大很多,我跟到第10个Lecture,才刚刚讲到Logistic Regression。前面费了很大力气在讲机器什么时候可以学习,以及证明为什么能学习。

此文主要是基于《机器学习基石》的学习笔记。Topic是为什么机器可以学习?

机器学习流程

下面是一个粗略的机器学习流程图

机器学习最开始也是最终的目的是获得一个target function,喂进去数据能直接得到正确结论的函数。为了得到这个函数,我们需要一大堆的训练数据。然后通过一个好的机器学习算法,从一大堆可能的function(也就是H)中挑选一个比较好的function(也就是g),这个gtarget function长得越像越好。

Hoeffding’s inequality

大家有没有想过,为什么这样就能学到东西。我们的算法只是在训练数据上跑,从训练数据跑出来的g,我们怎么能确定它也能在测试数据上跑的很好呢?这个就是问题的关键。其实接下来内容主要就是论证这个问题。

先来考虑一个简单的问题。比如说我们现在有一个黑罐子,里面有很多弹珠,只有两种颜色,黄的和绿的。好现在问你,你怎么能知道黄色弹珠大概有多少颗?

大家肯定都会说抽样。没错,我们抽出10个弹珠,很容易能知道黄色弹珠在sample中的比例。但是这个比例真的能代表罐子中的比例吗?也许能,也许不能。而且能的记录会随着我们sample数目的增大而增大。但是也有可能你抓出一把全绿。但这种情况发生的记录很小。这里我们有一个定理保证这种偏差发生的记录很小。

Hoeffding's inequality可以保证偏差很大发生的几率很小,并且随着N的增大很减小。公式如下,v代表sample中黄色弹珠的比例,μ表示罐子中黄色弹珠的比例。ϵ也就是偏差。

ℙ[|ν−μ|>ϵ]≤2exp(−2(ϵ^2)N)

坏事的发生

现在我们称vEin,μEout,现在我们已经证明了EinEout不会差的太远,更重要的事情是保重Ein越小越好,这就需要一个好的算法。
还记得上面的学习流程吗,我们的算法是从很多个h中去挑选一个Ein最小的h让它成为g。但是这里会有坏事情发生。
所谓的坏事情就是bad sample,就是说我们抽出了十个全是绿的弹珠。现在有一个好的h称之为h1,和坏的hh2h1对于这个bad sample的表现当然是糟糕的,而恰好h2表现很好,那h2就被选成g了。

当出现坏事的时候,我们学习就会困难,可以直接说不能学习。所以这个坏事出现的概率是多少呢?把所有h中发生坏事的几率加起来。

从上图的式子中可以看到,坏事发生的几率和M有关。M也就是h的个数。
从现在的条件来看,如果M很大甚至无线的话那么Learning是不可行的。

无效的Hypothesis

真实的情况是M一般不会很大,请再仔细看看上一张图的推导,M是通过把所有的h坏事发生的概率加起来的,但是其实这些h不是互相独立的。所以这些h是有重复的,如下图。

比如说,我们想学习的target function是一条把x1分类成正负的线。现在h就有无数个,因为任意一条线都能分类,但是实际有意义的只有两种,分成正的和负的。
如果是两个点的话,实际有效的h就有4种,但是3个点就有可能不到8种了,因为会出现三点共线的情况。4个点的话按理说有16种,但是同样有一种情况不会发生,请看下图。

所以现在我们的公式就变成了这样,大大减小M的个数

成长函数的上限

现在我们给上面effective(N)一个称呼,叫做成长函数。也就是说,对于某一个输入DH最多能够产生的多少种方程。注意是种类的数量。
这个所谓的种类我们也给一个定义叫做dichotomy,用来表示H对与D的二元分类情况。
好,现在问题的关键,就是H到底能把D分成多少个dichotomy。也就是它的成长函数到底是多少?
但是我们很难确定它的成长函数。但是好在我们拥有一个叫做break point的东西,这就是成长函数的上限。我们再看回上面分类的例子。

  1. 一个点能分成两种
  2. 两个点分成四种
  3. 三个点分成六种或者八种
  4. 四个点只有14种(break point)

这里的输入为三个点就是一个break point。也就是说当输入N个点,H不能够把这个N个点的排列组合全部表示出来时(2^N)N就是一个break point
H能把N的全部组合表示出来时,说明这N个点被Hshatter掉了

我们用B(N,k)来表示当输入N个点时,H可以最多产生多少个dichotomy
通过数学归纳法我们可以证明到

VC BOUND

现在到了最后一步,除了把上边那个成长函数的上限代入进去之外,还需要进行一系列的变形,这些变形需要很强的数学能力和概率上面的知识,我自己都不太懂,况且我觉得大部分人都不需要了解。这里我就略过,有兴趣的强人自己google咯。
最终的式子如下

好了,现在我们终于能说机器学习确实可以学到东西了。但是需要满足三个条件。

  1. 有一个好的H(拥有break point)
  2. 足够多的数据
  3. 好的算法,能够使Ein足够小

这三者的关系如下图。

dvc = k - 1,大致上可以把它看出theta的维度加1

上图很清晰的说明,并不是说你的模型搞得很复杂,算法弄得很好,就能学好,反而是取到一个折中的点,这样的学习才最有效。